Friedrich Mück spielte als Posaunist in renommierten Orchestern wie den Hamburger Symphonikern, der Staatskapelle Dresden, dem Orchester der Komischen Oper Berlin und der Jungen Deutschen Philharmonie. Sein Studium schloss er mit Auszeichnung ab.

Seinen ersten Instrumentalunterricht erhielt er im Alter von 8 Jahren auf dem Tenorhorn. Der Jugend musiziert-Bundespreisträger wechselte wenige Jahre später zur Posaune und begann 2008 ein Doppelstudium aus Bachelor Posaune (Prof. Henning Wiegräbe) und Schulmusik an der Staatlichen Hochschule für Musik und Darstellenden Kunst Stuttgart. Später erlangte der Yehudi Menuhin-Stipendiat eine Praktikantenstelle bei den Hamburger Symphonikern, mit denen er unter anderem in der Hamburger Laeiszhalle und der Hamburger Staatsoper musizierte. Des Weiteren arbeitete er als Posaunist mit der Württembergischen Philharmonie Reutlingen, dem Württembergischen Kammerorchester Heilbronn und als Bühnenmusiker mit dem Staatsorchester Stuttgart zusammen.
Ferner war er in mehreren Kammerensembles tätig. Hierzu zählen die Salaputia Brass-Connection, NRW-Brass und City Brass Stuttgart. Das Projekt „Stravinsky: animated – Die Geschichte vom Soldaten“ führte ihn als Künstler sowohl ins Badische Staatstheater Karlsruhe, als auch auf das renommierte Lucerne-Festival.
Friedrich Mück ist zudem in der traditionellen Blasmusik beheimatet: Mit den Münchner Oktoberfest-Musikanten spielte er unter anderem auf dem Münchner Oktoberfest und im Deutschen Theater München.

Überdies ist Friedrich Mück als Dirigent, Chorleiter, Dozent und Lehrer tätig. Nebst seiner Funktion als Dozent für Musik-Lehrgänge und Auswahlorchester dirigiert er seit 2019 den Musikverein Bühlertann.